¿Para qué sirven los logaritmos? ¿¡Por qué nos los explican en la escuela!?

MADRID.-En las escuelas secundarias de todo el mundo nos explican los logaritmos, sin embargo, muchos luego de pasar por la escuela se nos olvida qué son y por qué nos los enseñan.

En realidad, los logartimos son más naturales de lo que parece y sí son muy importantes.

Eduardo Sáenz de Cabezón, de la cuenta de YouTube Derivando, lo explica muy detalladamente.

"¿Qué queda a mitad de camino entre 100 y 10,000? Mucha gente respondería que 1000 y otras podrían contestar que 5050 ¡y las dos respuestas tienen sentido! Una tiene sentido logarítmico (1000) y la otra sentido lineal (5050). Esta respuesta lineal es simplemente colocar el 100 y el 10,000 en la recta numércia y calcular el valor que está justo en medio de los dos", comenta.

Agrega:

"Pero quisá la más natural es 1000, la respuesta logarítmica, porque en realidad entre un número con dos ceros después del uno, y otro con cuatro ceros depués del uno, nos parece que lo natural es ver un número con tres ceros desúés del uno, el mil, y este tipo de razonamiento lo usamos muchísimas veces, es algo así como una estimación de los tamaños de las cantifdades de las magnitudes que sea manejable cuando tenemos magnitudes muy grandes o muy diferentes entre ellas".

Sáenz de Cabezón afirma que es algo como ser capaces de comparar cosas que difieren mucho entre ellas.

¿Qué hacen los logaritmos?

Los usamos para comparar, como por ejemplo, el crecimiento del dinero en un banco con un cierto interés, el número de casos de contagios de una enfermedad, o incluso la magnitud de los terremotos. La famosa escala de Richter es logarítmica.

Sáenz indica que en una escala lineal cada paso es una suma y en una escala logarítmica los pasos son multiplicaciones ¿Cuántos pasos necesito paara ir de uno a 10,000? Pues 4 pasos, 4 multiplicaciones por 10.

Esto es muy útil cuando manejamos número muy grandes, es decir, los ponemos a escala "humana".

Matemáticamente el logaritmo nos dice cuántos pasos de tamaño 10 tengo que dar para alcanzar un tamaño de número determinado, o sea, cuántas veces tengo que multiplicar por 10 a 10, en este caso, se le conoce como base de logaritmo.

Por el ejemplo, el logaritmo en base 10 de 10,000 es 4. Se requieren 4 multiplicaciones por 10 para llegar de 1 a 10,000. En notación matemática se escribe así:

Si nos damos cuenta, multiplicar 4 veces por el mismo número se llama elevar ese número a 4, o sea que 10,000 mil es 10 elevado a 4.

Efectivamente, 10^4 es otra forma de decir logaritmo en base 10 de 10,000 es 4.

Dicho en general, el logaritmo en base de "b" de "x" es el número al que hay que elevar "b" para que "b" dé "x".

Esto quiere decir cuántas veces tengo que multiplicar por "b" para obtener "x".

Es por ello que el logaritmo es como la operación inversa de la exponencial, lo de elevar un número a otro.

¿Qué utilidad tienen las escalas logarítmicas?

Las escalas logarítmicas son muy útiles cuando tenemos que explicar cantidades muy grandes, porque lo que ponemos en los ejes son los pasos.

Por ejemplo, esta de abajo (foto) es una gráfica del número de máquinas conectadas a Internet cada año entre 1981 y 2001.

En 1981 había unos 300 y en el 2001 unos mil millones. El eje vertical es logarítmico porque si fuera un eje lineal en el que de uno a dos midiera lo mismo que de dos a tres, para pintar la gráfica tendríamos que requerir miles de metros. Y, sin embargo, mil millones es el noveno paso multiplicando por 10, y podemos visualizar los datos de manera perfecta dejando un espacio pequeño entre paso y paso en una escala logarítmica.

¿Cuáles son las primeras fórmulas con logaritmos que aprendemos en la escuela?

Una de las primeras fórmulas es que el logaritmo en base "b" de "x" por "y" es igual al logaritmo en base "b" de "x" más el logaritmo en base "b" de "y".

Si el logaritmo en base "b" de "x" mide cuántas multiplicaciones por "b" tengo que dar para llegar a "x" y luego se dan los pasos necesario para llegar a "y" al final estamos dando los pasos necesario para llegar a "x" por "y", por que los pasos son multiplicaciones.

Por ejemplo, 1,000,000 es 10,000 por 100. El logaritmo en base 10 de 10,000 es 4, cuantro multiplicaciones por 10. Y el logaritmo en base 10 de 100 es 2, dos multiplicaciones, y si se suman obtenemos 6, que es el número de multiplicaciones que se tienen que hacer para llegar a un 1,000,000 que es igual a 10^6.

¿Cómo son los logaritmos en base 2 y e?

Acabamos de ver un ejemplo de logaritmos en base 10, el cual es muy claro porque en esas multiplicaciones básicamente te dicen cuántos ceros tiene el resultado, o sea cuántas cifras. Otros logaritmos muy usados son el de base 2, en que cada paso es multiplicar por dos, o sea doblar una cierta cantidad, y el logaritmo en base e, donde "e" es un número intrascendente, con infinitos decimales, y lo curioso del asunto es que a ese logaritmo se le conoce como natural.

Lo que quiere decir es que la base del logaritmo natural es el número "e", y esto es por que "e" es un número muy particular cuando lo multiplicamos por sí mismo.

Multiplicar "e" por sí mismo x veces es hacer "e" elevado a "x".

Y si tomamos la función de F(x) =e^x tenemos lo que se llama un crecimiento exponencial de base "e". Otra cosa que sabemos es que la derivada de una función en un punto nos dice cuál es la tasa de crecimiento de la función en cada punto.

Entonces resulta que la derivada de "e" elevada a "x" (e^x) es ella misma. O sea que en cada punto la tasa de crecimiento coincide con el valor de la función y eso solo pasa con el crecimiento exponencial de base "e". Esto nos dice que hay algo muy especial con el exponencial de base "e" y por tanto con su logaritmo.

Si tenemos que buscar una función que coincida con su derivada y que en el 0 valga 1, entonces la única función posible es e^x.

¿Esto que tiene que ver con la naturaleza?

Esto tiene que ver con fenómenos cuya tasa de crecimiento o decrecimiento es exponencial y se relaciona con el número "e", un ejemplo es la desintegración atómica que es exponencial, y gracias al número "e" nos permite tener pruebas como la del carbono 14 para datar cosas antiguas.

Tiene que ver el número "e" también con intereses bancarios, con disposiciones de semillas, con crecimiento de poblaciones , entre otras.

Otra escala logarítmica muy utilizada es la de Richter en base 10, o sea que un terremoto de escala 6 es 10 veces más poente que uno de grado 5, de hecho la potencia de un sismo se calcula en base al logaritmo de las amplitudes de las ondas registradas en los sismógramos.

Otra escala logarítmica es la escala PH de acidez y la escala de potencia sonora, los decibelios.