La terrible falla de las matemáticas; la incompletud, según Veritasium

MÉXICO.- Existe una falla en el fondo de las matemáticas, una falla que significa que nunca sabremos todo con certeza.

Siempre habrá afirmaciones que no podremos probar. Nadie sabe cuáles son exactamente esas afirmaciones, pero podrían ser algo como la conjetura de los números primos gemelos.

Los primos gemelos son números primos separados por solo un número, como el 11 y el 13 o el 17 y el 19. A medida que los números ascienden, los primos ocurren menos seguido, por lo que los primos gemelos son menos comunes aún.

Pero esta conjetura dice que hay un número infinito de primos gemelos que nunca se acaban. Hasta este momento, nadie ha probado que esta conjetura sea verdadera o falsa.

Pero lo curioso es esto: quizás nunca lo sepamos porque lo que sí ha sido probado es que en cualquier sistema matemático en el que puedas hacer aritmética básica, siempre habrá afirmaciones verdaderas que son imposibles de probar.

Específicamente, este es el Juego de la Vida creado en 1970 por el matemático John Conway, quien tristemente falleció de COVID-19 en 2020. El Juego de la Vida de Conway se juega en una grilla infinita de celdas cuadradas; cada una de ellas está viva o muerta, y solo existen dos reglas:

• Toda celda muerta con tres vecinas vivas vuelve a la vida.
• Cada celda viva con menos de dos o más de tres vecinas vivas muere.

Una vez que has montado el orden inicial de las celdas, las dos reglas se aplican para crear la próxima generación de celdas y luego la siguiente, y así sucesivamente. Es automático. Conway lo llamó un juego para hacer jugadores.

Aunque las reglas son simples, el juego puede generar una gran variedad de comportamientos. Algunos patrones se vuelven estables una vez que surgen, no se modifican; otros oscilan hacia adelante y atrás repetidamente; algunos viajan a través de la grilla eternamente y muchos patrones simplemente se esfuman. Pero algunos de ellos continúan creciendo eternamente, generando nuevas celdas.

Quizás creas que con estas sencillas reglas del juego podrías observar cada patrón y determinar qué sucederá: si alcanzará eventualmente la estabilidad o seguirá creciendo sin límite. Pero lo que sucede es que estas preguntas son imposibles de responder.

El destino último de un patrón en el Juego de la Vida de Conway es indecidible, es decir, no existe un algoritmo posible que garantice responder estas preguntas en una cantidad de tiempo finita.

Claro, podrías dejar desarrollarse a ese patrón y ver qué sucede, ya que las reglas del juego son una clase de algoritmo, después de todo. Pero eso tampoco te garantiza una respuesta.

Aunque lo dejes desarrollarse por un millón de generaciones, no serás capaz de determinar si durará eternamente o solo dos millones de generaciones, o un millón de millones, o un googolplex.

Hay algo especial acerca del Juego de la Vida que hace que sea indecidible. De hecho, existe una enorme cantidad de sistemas que son indecidibles: los mosaicos de Wang, la física cuántica, los sistemas de tickets de las aerolíneas e incluso el juego Magic: The Gathering.

Para comprender cómo es que la indecibilidad aparece en todos estos sitios, debemos viajar 150 años al pasado, a un momento revolucionario para las matemáticas.

En 1874, el matemático alemán Georg Cantor publicó un artículo que impulsó una nueva rama de las matemáticas: la teoría de los conjuntos.

Un conjunto es simplemente una colección bien definida de objetos. Los dos zapatos en tus pies son un conjunto, como también todos los planetarios del mundo son un conjunto. Hay un conjunto vacío y un conjunto con todo en él.

Cantor estaba estudiando los conjuntos de números, como los números naturales (positivos, enteros, como 1, 2, 3, 4, etc.) y el de los números reales, que incluyen fracciones como un tercio o cinco medios, e incluso números irracionales como π y la raíz cuadrada de 2.

Básicamente, cualquier número que pueda ser representado con un decimal infinito. Se preguntaba: ¿hay más números naturales o más números reales entre 0 y 1? La respuesta puede parecer obvia: hay una cantidad infinita de ambos, por lo que ambos conjuntos deberían tener el mismo tamaño.

Pero para comprobar esta lógica, Cantor imaginó escribir una lista infinita, uniendo cada número natural a un lado con un número real entre cero y uno del otro lado.

Como cada número real tiene decimales infinitos, no hay uno que vaya primero que otro, por lo que podemos anotarlos en orden aleatorio. Lo fundamental es asegurarse de que no se repitan y alinearlos uno a uno con un número entero.

Si podemos hacer eso sin que nos sobre ninguno, entonces sabremos que el conjunto de números naturales y el de números reales entre 0 y 1 son del mismo tamaño.

Asumamos que hemos hecho esto. Tenemos una lista completa e infinita de cada entero actuando como número índice, un identificador único de cada número real de la lista.

Ahora, dice Cantor, comienza a escribir un nuevo número real. Para hacerlo, tomamos el primer dígito del primer número y le sumamos 1, luego tomamos el segundo dígito del segundo número y nuevamente sumamos 1, luego el tercer dígito del tercer número y sumamos 1, y seguimos así con toda la lista.

Si el número es un 9, conviértelo en un 8. Al final de este proceso, tendrás un número real entre 0 y 1. Pero aquí está el asunto: este número no aparecerá en ningún lugar de la lista. Es diferente del primer número en el primer dígito decimal, del segundo en el segundo dígito decimal y así consecutivamente.

Tiene que ser diferente de cada uno de los números de la lista en al menos un decimal. El número en esta diagonal. Por esto es llamada la prueba de diagonalización de Cantor.

Demuestra que debe haber más números reales entre 0 y 1 que números naturales extendiéndose al infinito, por lo que no todos los infinitos son del mismo tamaño. Cantor los llamó infinitos contables e incontables respectivamente, y de hecho hay muchos más infinitos incontables que son aún más grandes.

El trabajo de Cantor fue considerado un gran golpe a las matemáticas. Por dos mil años, los Elementos de Euclides se consideraron los cimientos de la disciplina.

Pero a comienzos del siglo XIX, Lobachevski y Gauss descubrieron las geometrías no euclidianas, lo que lanzó a los matemáticos a examinar más atentamente los cimientos de sus disciplinas. Y no les gustó lo que encontraron.

La idea de un límite en el centro del cálculo resultó estar pobremente definida, y ahora Cantor estaba probando que el infinito mismo era mucho más complejo de lo que imaginaron.

Entre toda esta crisis, el matemático David Hilbert buscaba respuestas. Desarrolló conceptos nuevos en las matemáticas que fueron cruciales para la mecánica cuántica y sabía que el trabajo de Cantor era brillante.

Hilbert estaba convencido de que un sistema más formal y riguroso de pruebas basadas en la teoría de los conjuntos podría resolver todos los problemas que habían surgido en matemáticas en aquel siglo, y la mayoría de los matemáticos estaban de acuerdo con él. Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado, decía Hilbert.

Sin embargo, surgió una extraña paradoja en contra de las expectativas. Una paradoja conocida como la paradoja del barbero ilustra un problema fundamental de la autorreferencia.

La ley dice que el barbero del pueblo deberá afeitar a todos y cada uno de los hombres que no se afeitan a sí mismos. Pero el barbero mismo también vive en el pueblo y es un hombre.

Entonces, ¿quién lo afeita a él? Si él no se afeita a sí mismo, entonces el barbero debe afeitarlo. Pero el barbero no puede afeitarse a sí mismo porque el barbero no afeita a nadie que se afeite a sí mismo.

Así que el barbero debe afeitarse sí y solo si él no se afeita a sí mismo. Esta paradoja muestra las limitaciones de los sistemas formales.

Hilbert quería asegurar los cimientos de las matemáticas desarrollando un nuevo sistema para las pruebas formales y, junto a Alfred North Whitehead, desarrolló un sistema formal extenso en los tres volúmenes de Principia Mathematica publicados en 1913.

Principia Mathematica es extenso, son unas 2.000 páginas de densos apuntes matemáticos. Les tomó 762 páginas solo arribar a una prueba completa de que 1 + 1 = 2.

En 1930, Hilbert dio un encendido discurso acerca de estas preguntas y lo finalizó con una frase que resumía su sueño formalista: “Wir müssen wissen, wir werden wissen” (“Debemos saber, sabremos”). Estas palabras están literalmente en su tumba.

Pero para cuando Hilbert dio este discurso, su sueño ya estaba derrumbándose. Justo el día anterior, en una reunión en la misma conferencia, un lógico de 24 años llamado Kurt Gödel explicó que había encontrado una serie de limitaciones fundamentales en los sistemas formales.

Gödel demostró que en cualquier sistema matemático que sea lo suficientemente poderoso como para hacer aritmética básica, habrá afirmaciones verdaderas que no pueden ser probadas dentro del sistema, y esto se conoce como el teorema de incompletitud de Gödel.

Esta demostración de Gödel mostró que ningún sistema formal puede ser a la vez completo y consistente. Si es consistente, entonces hay afirmaciones verdaderas que no pueden ser probadas; y si es completo, entonces tiene que ser inconsistente.

Esta paradoja está en el corazón de la matemática y es la base de la indecibilidad de muchos problemas, incluido el destino de los patrones en el Juego de la Vida de Conway.

Finalmente, el matemático Alan Turing desarrolló la idea de la máquina de Turing, un concepto teórico que sentó las bases de la computación moderna.

Turing demostró que algunos problemas son inherentemente indecidibles: no existe un algoritmo que pueda determinar siempre si una máquina de Turing se detendrá o continuará ejecutándose indefinidamente.

Este resultado, conocido como el problema de la parada, tiene profundas implicaciones para la matemática y la computación.

La falla en las matemáticas es que existen limitaciones fundamentales en lo que podemos saber y probar. Esto no solo afecta a las matemáticas, sino también a la computación y a otros sistemas formales, subrayando la importancia de reconocer y aceptar estas limitaciones en nuestra búsqueda del conocimiento.